Enunciado
Se pide resolver los desplazamientos de nudos, reacciones y solicitaciones de la barra mostrada en la siguiente gráfica. La sección y módulo elástico para todas las barras es la misma.
Utilizar el método de rigidez.
Numeración de nudos
El primer paso a la resolución de este tipo de estructuras siempre pasa por la numeración de barras y de grados de libertad de los nudos. Para todos los problemas conviene hacer un barrido de izquierda a derecha para la numeración de nudos y barras. Especialmente en estructuras grandes, se debe procurar que la numeración sea ordenada y sin volver hacia atrás en los barridos.
Matriz de rigidez de cada elemento
Hecha la numeración, ahora procedemos a calcular la matriz de rigidez de cada elemento. Para esto debemos conocer los datos de:
– Longitud de la barra
– Sección transversal
– Módulo elástico
– Ángulo de orientación de la barra respecto de X
Luego debemos aplicar todos estos datos a la siguiente matriz:
Barra 1
Por ejemplo para la barra 1, reemplazando todos los datos, se tiene:
Se debe tomar especial atención a la manera de medir los ángulos en las barras. El proceso es el siguiente:
1) Dibujar un sistema coordenado X-Y
2) Acomodar el nudo con la numeración más baja en el origen de coordenadas local
3) Dibujar la barra
4) medir el ángulo de rotación de la barra desde el eje X positivo del sistema coordenado local.
Barras 2 a 5
Siguiendo el mismo procedimiento para el resto de las barras, se procede con el cálculo de sus matrices locales. Nota que he dibujado la orientación de las barras inclinadas en un pequeño esquema al lado izquierdo de los datos de cada barra.
Se debe prestar atención a la numeración de los elementos de la matriz de rigidez local para cada elemento. La numeración se realiza del grado de libertad menor al mayor, consecuente con haber acomodado el nudo con grados de libertad más bajo en el origen de coordenadas del sistema coordenado local.
Ensamblaje de la matriz de rigidez Global
Los índices o numeración de las matrices de rigidez locales juega su papel más importante en este paso. Acomodamos cada matriz local en las respectivas posiciones en la matriz de rigidez global enumerada en las posiciones de filas y columnas de 1 a 8. Si dos elementos de matrices de rigidez local caen dentro de la misma casilla en la matriz de rigidez global, ambos (o más) valores se suman.
Vector de fuerzas y reacciones
Algunos autores suelen acomodar tanto cargas como reacciones en un mismo vector. Yo prefiero separar ambas en dos vectores diferentes {F} y {R} respectivamente. En este caso solo tenemos una carga de 40KN en la dirección negativa del grado de libertad 6. Por otro lado las reacciones en la estructura corresponden a los grados de libertad restringidos 1, 2, 7, 8. Estos mismos grados de libertad presentan cero desplazamiento. O sea:
Sistema de ecuaciones final
El sistema de ecuaciones está completo. Con todos los elementos ya conocidos, y escrito en forma resumida, el sistema de ecuaciones se ve de la siguiente manera:
Reducción del sistema
Se deben anular filas y columnas de los grados de libertad restringidos. Estos grados de libertad son el 1, 2, 7, 8. De esta manera nos quedamos con un sistema de ecuaciones reducido, donde las únicas incógnitas son los desplazamientos.
Entonces queda:
Resolución del sistema de ecuaciones reducido
El sistema de ecuaciones se resuelve llevando la matriz de rigidez reducida al miembro derecho de la ecuación invirtiendo la matriz. Luego se multiplica la inversa de K reducido por el vector de fuerzas.
Con esto se tienen ya los desplazamientos de los nudos de toda la estructura.
Reacciones
Reemplazando los desplazamientos ya conocidos dentro del sistema de ecuaciones global sin reducir, ahora las únicas incógnitas del sistema son las reacciones. El sistema de ecuaciones toma la siguiente forma:
Ahora podemos multiplicar [K]global por los desplazamientos ya conocidos{u}. Luego las fuerzas se llevan al miembro izquierdo con signo cambiado, y se tienen despejadas las reacciones.
Graficación de resultados
La graficación de resultados suele ser el paso más importante dentro del cálculo estructural y es muchas veces a lo que menos esmero se pone. Vamos a graficar lo encontrado hasta el momento.
Notemos que si los desplazamientos o reacciones tienen signo positivo en el resultado analítico, estos valores deben dibujarse hacia abajo o izquierda en la gráfica.
Solicitaciones.
Para encontrar las solicitaciones de una barra del sistema, es conveniente transformar los desplazamientos de los nudos de esta barra, de coordenadas globales a coordenadas locales. De esta manera podemos conocer los desplazamientos de la barra orientados a lo largo del eje longitudinal. De la siguiente manera:
Se multiplica la matriz de transformación de rotación por los desplazamientos de la barra. En este caso operamos con la barra 3.
Si reemplazamos el ángulo en la matriz de transformación, obtenemos:
Con los desplazamientos u1Local y u2Local, por resistencia de materiales conocemos la relación entre solicitaciones y defomaciones unitarias de una barra.
El signo negativo indica que la barra está en compresión.
Se puede realizar exactamente el mismo procedimiento para el resto de las barras obteniendose finalmente:
Con esto termina el ejercicio.
autor: Marcelo Pardo
