Planteamiento del problema

En casi todas las publicaciones hasta ahora hemos visto el problema matricial de resolución de estructuras desde principios de resistencia de materiales.

En esta ocasión veremos el planteamiento de ELEMENTOS FINITOS a partir del principio de trabajos virtuales.

Si queremos abordar la problemática del equilibrio de estructuras desde la perspectiva de los elementos finitos, el punto de partida es el PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES que dice que para todo cuerpo en el espacio con fuerzas externas y esfuerzos internos actuantes, el cuerpo está en equilibrio si el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas sobre desplazamientos virtuales es igual al trabajo virtual realizado por las tensiones o esfuerzos internos sobre las deformaciones virtuales.

Plantearemos el principio de trabajos virtuales para un elemento de barra con cargas axiales para hacer más sencilla la explicación. Sin embargo este planteamiento es válido para elementos de viga, elementos de placa e incluso volumétricos. Entonces el concepto traducido a fórmula es el siguiente:

donde:

• δε: deformaciones virtuales
• δu: desplazamientos virtuales
• u: desplazamientos en cualquier punto de la barra
• f: Carga axial de la barra en función de x. f(x)
• Pi: Cargas puntuales en puntos discretos i de la barra
• x: El dominio de la geometría de la barra

Solución de la ecuación

La solución del problema radica en encontrar el campo de desplazamientos de la barra en cualquier punto «x». Sin embargo no conocemos ni siquiera la forma de la ecuación de u como función de x.

En ecuaciones diferenciales podríamos ir probando diferentes ecuaciones de la función u(x) hasta encontrar una ecuación que cumpla la condición de equilibrio o igualdad. Sin embargo este no es un procedimiento práctico.

El método de elementos finitos consiste en encontrar una ecuación u(x) que se aproxime a la solución exacta. La selección de la función u(x) puede ser cualquiera que se acomode a la solución exacta, y para propósitos prácticos podríamos partir de un polinomio de cualquier grado, siendo el más sencillo el polinomio de grado 1. De tal forma que si la forma de la solución de desplazamientos reales u es la siguiente:

…nosotros podríamos aproximar la solución u mediante una recta que se aproxime lo más posible a la solución exacta:

Sin embargo, podemos ver en la imagen que la aproximación no es lo suficiente exacta para describir la deformación de la barra de manera precisa. Es aquí donde el método de los elementos finitos toma relevancia porque nos permite dividir el dominio de la geometría en tantas partes como precisión busquemos, de tal manera que si dividimos la geometría en 3 partes, podemos de la misma manera aproximar el dominio de la solución (desplazamientos) en estas tres partes y encontrar una solución más aproximada a la exacta.

El problema radica en encontrar entonces los desplazamientos u₁, u₂, … , u_n que se aproximen a la solución exacta. Para eso entraremos a explicar el concepto de LAS FUNCIONES DE FORMA.

Funciones de forma

Si observamos la última figura, se entiende que estamos intentando aproximar la solución exacta mediante tramos rectos (también pueden ser parábolas o polinomios de grado mayor, pero imaginemos que son tramos rectos por simplicidad.

Cara uno de estos tramos rectos tendrá una ecuación del desplazamiento u en función de x de la siguiente forma:

Tomemos un tramo intermedio como ejemplo para analizar su solución aproximada. Se supone que no conocemos los desplazamientos de los extremos del tramo. A estos desplazamientos desconocidos de los extremos los llamaremos u₁ y u₂, y sus coordenadas son x₁ y x₂. Por tanto la ecuación de la recta que aproxima los desplazamientos puede escribirse para los dos desplazamientos como:

…donde tanto los desplazamientos u₁ y u₂ como a₀ y a₁ son incógnitas del problema. Reemplazar la variable u(x) escrita de esta forma en la ecuación de trabajo virtual no es conveniente. Podemos escribir a₀ y a₁ en función de x de la siguiente manera. Restando la segunda ecuación de la siguiente obtenemos:

Acabamos de encontrar a₁. Si reemplazamos a₁ en la primera de las dos ecuaciones anteriores y despejamos a₀:

Ahora podemos reemplazar a₀ y a₁ en u(x) = a₀ + a₁x:

Reordenando términos:

De la última ecuación, las variables N1 y N2 en función de x son las denominadas FUNCIONES DE FORMA del tramo analizado, y valen:

Ahora si podemos reemplazar u(x) en la ecuación de trabajos virtuales. Este reemplazo se lo realizará en la siguiente publicación junto con la deducción de la matriz de rigidez del elemento de barra y su respectivo vector de fuerzas equivalentes a la carga distribuida.

Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes

Elementos finitos – matriz de rigidez elemento con deformación axial 1D