Pasos previos
Se busca encontrar la solución a desplazamientos del problema de la barra empotrada de la imagen:
En una anterior publicación habíamos conocido la manera de obtener las funciones de forma que nos ayudarán a aproximarnos a la solución exacta mediante un polinomio de la forma:
donde
Ahora toca reemplazar el desplazamiento u(x) en la ecuación de Principio de trabajo virtual (PTV).
Desplazamiento aproximado u(x) en la ecuación de PTV
La ecuación del Principio de trabajo virtual está aplicada sobre el volumen de la pieza:
Sin embargo sabemos que dV = A*dx y por tanto podemos reescribir la ecuación así:
Además sabemos que la deformación unitaria es igual a la variación de la deformación absoluta respecto de la longitud del tramo analizado. Si trabajamos en un tramo diferencial, esto será:
Y si la deformación unitaria es virtual, el diferencial del desplazamiento será también virtual:
Por otro lado sabemos por resistencia de materiales que el esfuerzo:
entonces reescribiendo la fórmula de trabajo virtual completa nuevamente se tiene:
A partir de aquí corresponde reemplazar u(x) dentro de la ecuación de PTV y resolver.
Miembro Izquierdo
Trabajaremos en este caso sobre un elemento de toda la viga sometida a tracción, imaginando que la viga está dividida en un número n de partes.
Nos centraremos en el lado izquierdo de la igualdad de la ecuación del PTV. Tomemos en cuenta que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos la derivada de u(x) y la derivada del desplazamiento virtual δu(x). Si derivamos entonces du(x)/dx se tiene:
Pero como N1 y N2 son dependientes de x:
El denominador de las funciones de forma es x2 – x1, que para cada elemento sabemos que es la longitud del tramo. Luego si realizamos la derivación de las funciones respecto de x queda:
Lo mismo podemos hacer para la derivada de los desplazamientos virtuales δu(x):
Si reemplazamos entonces las derivadas del desplazamiento u(x) y δu(x) en la ecuación de la integral:
Ahora, u1, u2, δu1 y δu2 son escalares del problema que pueden salir fuera de la integral. Si desarrollamos los términos dentro de los paréntesis:
Miembro Derecho
Para el extremo derecho de la ecuación, por conveniencia asumiremos un tipo de carga distribuida b(x) lineal para un elemento finito entre las coordenadas x1 y x2 como en la imagen:
Reemplazando entonces δu(x) en el miembro derecho de la ecuación del PTV tenemos:
La expresión de b(x) antes de ser reemplazada en la integral puede ser escrita de una manera más conveniente. Aprovechemos ya los conocimientos de las funciones de forma N1 y N2 para escribir la ecuación de b(x) de la siguiente manera:
Ahora haciendo el reemplazo de b(x) y reordenando términos sacando δu1 y δu2 fuera de la integral, tenemos:
La ecuación completa
Como δu1 y δu2 son desplazamientos arbitrarios que pueden tomar cualquier valor, para que la igualdad entre los miembros derecho e izquierdo se cumpla, se debe cumplir que:
Si E y A son constantes a lo largo del elemento, pueden salir fuera de la integral. A la vez las integrales se definen entre los límites x1 y x2. Por tanto resolviendo las integrales del lado izquierdo nos queda:
La integral del lado derecho es un poco más larga. Nos centraremos solo en la integral derecha de la primera ecuación. Dejo al lector la resolución de la integral derecha de la secunda ecuación.
Luego de resolver ambas integrales, el sistema de ecuaciones queda:
que escrito de manera matricial resulta:
Este es el mismo resultado al que se llegó mediante deducciones de resistencia de materiales en el enlace Elemento de barra 1D – método de rigidez.
Conclusión
El método de Elementos Finitos es mucho más complejo en la deducción de las matrices de rigidez de elementos. Esta complejidad no parece tener un beneficio claro cuando se trabaja con elementos de barra, donde el trabajo de deducir las matrices de rigidez es mucho más sencillo con conceptos de resistencia de materiales.
Sin embargo, esta aparente complejidad revela sus mayores ventajas al trabajar con elementos de placa o elementos volumétricos, donde el método de rigidez ya no llega. En esos casos el método de Elementos Finitos muestra sus mayores ventajas al poder trabajar con elementos mucho más complejos.
