Enunciado

Obtener la ecuación de vibración libre no amortiguada del péndulo de la imagen, que consiste en un péndulo simple con masa concentrada en el extremo y con masa despreciable de la cuerda. Luego linealizar la ecuación para pequeños desplazamientos y determinar la frecuencia natural de oscilación.

Solución

Primero debemos conocer las fuerzas involucradas en el movimiento del péndulo. Para eso, analizaremos el péndulo en un instante de tiempo en que el péndulo barrió un ángulo θ respecto a la vertical. En este instante el péndulo se está desplazando hacia la derecha, y las fuerzas que intentan retornar al péndulo hacia el centro son, La fuerza de la gravedad m*g y la fuerza ficticia de inercia. Ambas se oponen al movimiento. Y la fuerza de la gravedad tiene una componente perpendicular a la cuerda que siempre intentará llevar al objeto hacia el centro. Entonces:

Por otro lado la fuerza ficticia de inercia siempre es la aceleración lineal multiplicada por la masa. Sin embargo la distancia barrida “u” puede expresarse en términos de la longitud de la cuerda y el ángulo barrido con:

De tal forma que la inercia está ya escríta en términos del desplazamiento angular.

Luego podemos obtener el momento de fuerza respecto del punto O para ambas fuerzas, y resulta:

Para pequeñas oscilaciones, El seno del ángulo en radianes se confunde con el mismo ángulo, y por tanto se puede simplificar aun más la expresión anterior con:

De la expresión obtenida, si reescribimos la ecuación de tal forma que el término de la aceleración tenga coeficiente 1, el término que acompaña el desplazamiento (en este caso angular) es igual al cuadrado de la frecuencia natural del péndulo. Por tanto el péndulo tiene una frecuencia natural de oscilación de:

autor: Marcelo Pardo

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