El problema completo

Generalmente los problemas de estructuras se presentan de la siguiente manera:

Cuando necesitamos resolver un problema de vigas por el método de rigidez, debemos dividir la viga arriba en varias partes de longitud finita. Estas divisiones deberán localizarse en puntos donde exista:

• Un cambio en el tipo de carga distribuida
• Comienzo o fin de carga distribuida
• Una carga puntual
• Un momento de Par
• Un apoyo movil, fijo o empotrado
• Un resorte
• Un extremo de voladizo

En la gráfica superior justo las cotas de longitud están divididas en los puntos mencionados

La matriz de rigidez

Cada uno de los tramos divididos, denotados por las longitudes L1, L2, L3, etc, tendrá propiedades que estarán en base a su longitud L, su módulo de elasticidad E, e inercia I. Además cada uno de estos tramos tendrá en los extremos un nudo con dos grados de libertad.

Se asume en este caso una viga rectangular para la cual las propiedades necesarias son inercia, módulo elástico y Longitud, sin embargo la sección de la viga puede tener cualquier forma. Las propiedades de secciones transversales de vigas se puede calcular con el Programa de cálculo de Centroides e Inercias.

Con estas propiedades físico mecánicas se tiene toda la información del elemento para armar su matriz de rigidez.

Si asumimos para un tramo cualquiera que los nudos (extremos) de la viga se desplazan en sentido vertical positivo y giro positivo antihorario en sus dos extremos, la viga se deformará de la siguiente manera:

Correspondientemente, para estos desplazamientos de los nudos, la generará fuerzas internas en los extremos de la barra que deben estar en equilibro y directa relación con los desplazamientos impuestos arriba.

Los desplazamientos de los nudos del tramo se relacionan con las solicitaciones o fuerzas internas de la barra a través de la matriz de rigidez Ke:

La manera en la que se obtiene esta matriz de rigidez la explico en un vídeo de la zona de miembros de mi canal de youtube: Demostración de la matriz de rigidez de viga

De la ecuación que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas en los extremos de la barra, la matriz cuadrada representa la matriz de rigidez de la viga, que escrita aislada de la ecuación es:

Los números en recuadro representan los grados de libertad de la matriz de rigidez.