Pasos previos
Cuando se realiza un análisis por métodos matriciales, o por elementos finitos, existen varios pasos previos antes de encontrar las solicitaciones de las barras de un pórtico.
Los pasos son en orden:
- Encontrar matrices de rigidez de cada elemento o barra
- Ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura
- Armar el vector de cargas puntuales
- Armar el vector de cargas distribuidas
- Resolver el sistema de ecuaciones para desplazamientos
- Resolver las reacciones de los apoyos
Entonces hasta este punto nosotros ya conocemos los desplazamientos y rotaciones de cada nudo de la estructura.
A partir de aquí describiré los pasos para encontrar los diagramas de momento flector y cortante y las fuerzas axiales de cada elemento de pórtico
Rotación de desplazamientos
Se parte siempre de los desplazamientos obtenidos del paso 5 de la lista mencionada. Estos desplazamientos están orientados en la dirección de las coordenadas globales de toda la estructura.
El primer paso para encontar las solicitaciones consiste en alinear los desplazamientos de los nudos, respecto al eje de cada barra, como se muestra:
esto puede lograrse aplicando la misma matriz de transformación de rotaciones que se usó al encontrar las matrices de rigidez elemental.
Desglose de los desplazamientos locales
Una vez rotados los desplazamientos en los extremos de la barra para que coincidan longitudinal y perpendicularmente al eje de la barra, debemos dividir estos desplazamientos (desacoplarlos, siendo más rígidos terminológicamente) en desplazamientos que producen deformaciones axiales, y desplazamientos que producen deformaciones de flexión y corte:
Obviamente, los desplazamientos u1, y u4 producirán solicitaciones axiales en la barra. Los desplazamientos u2 y u5 combinados con giros u3 y u6 generarán solicitaciones de cortante y flexión en la barra.
Solicitaciones axiales
Utilizamos los desplazamientos locales u1 y u4 para encontrar las solicitaciones axiales de la barra. Partimos de la ecuación de resistencia de materiales de la relación Esfuerzo – deformación.
Luego desglosamos el esfuerzo en Fuerza/Área y la deformación unitaria ε en deformación/Longitud. Luego despejamos la fuerza Normal N. Además la deformación neta sobre la barra Δu = u4-u1.
La solicitación será de tracción si es positiva y de compresión si es negativa.
En este artículo se excluye la situación de solicitaciones axiales para barras que tienen carga distribuida paralela al eje.
Solicitaciones de Momento flector y Cortante
Para encontrar las solicitaciones de momento flector y cortante, debemos tomar en cuenta los siguientes datos de entrada necesarios:
- Desplazamientos u2, u3, u5, u6
- Magnitudes de las cargas distribuidas en los extremos de la barra
- Rigidez EI de la Viga
- Longitud L de la barra
A partir de toda esta información podemos encontrar los coeficientes A, y B, así como las constantes de integración C1, C2, C3, y C4 que forman parte de los coeficientes de las ecuaciones de Momento flector, cortante, pendiente de deformación y deformación.
Para entender de donde se obtiene esta matriz, se puede revisar la deducción completa en el artículo: TEORÍA DE MOMENTOS FLECTORES Y CORTANTES A PARTIR DE LAS DEFLEXIONES EN LOS EXTREMOS DE UNA BARRA.
Las ecuaciones de cortante, momento, pendiente y deflexión de la viga, a partir de los coeficientes arriba encontrados son:
Programa aplicativo
Cuento con un curso donde se aplica este principio en Matlab u Octave. Te enseño como programar un paquete de análisis de pórticos de principio a fin. Los detalles del curso están en el vídeo siguiente:
autor: Marcelo Pardo
Ing considerando efectos de temperatura como seria.
Buena sugerencia Alex. Lo anoto para la futura publicación