Problemática

Generalmente las escaleras son elementos con cierta complejidad de cálculo pues el cálcuo de sus solicitaciones no es tan directo como en el caso de vigas. El tramo inclinado convierte a esta estructura en un pórtico, que deberá calcularse a solicitaciones Normales, de Cortante, y Momento flector. Incluso algunas escaleras curvas necesitarán un análisis a torsión.

Para el caso más sencillo de escalera, plantearemos un tramo de escalera isostático, con cargas verticales que están muy cercanas a cargas reales que recibe esta estructura.

Enunciado

Se plantea la siguiente viga con cargas distribuidas, todas en la dirección de la gravedad:

La viga es isostática y se resolverá por métodos tradicionales.

Reacciones

Antes de entrar a las ecuaciones de equilibrio, conviene convertir las cargas distribuidas a cargas concentradas en el centro de gravedad de la carga distribuida. Para el caso de los tramos horizontales el cálculo es inmediato. Longitud por carga distribuida.

Para el caso de la carga distribuida inclinada, primero debemos obtener la longitud inclinada del tramo por pitágoras. Hecho esto recién multiplicamos la carga distribuida por el tramo inclinado

Equilibrio de momentos de fuerza

Notemos que se han calculado y anotado además todas las distancias horizontales de las posiciones de las cargas. Esto lo hacemos para calcular los brazos de las fuerzas en las ecuaciones de suma de momentos de fuerza.

Entonces, haciendo pivote en el apoyo A, vamos calculando los momentos de fuerza de todas las cargas equivalentes concentradas y de la reacción en B. La única incógnita es Rby. En este sitio web siempre adoptamos como positivos los momentos de fuerza que rotan en el sentido antihorario respecto del pivote.

Despejada y calculada Rby, ya podemos pasar al equilibrio de fuerzas por suma de fuerzas verticales y horizontales.

Suma de fuerzas en X y Y

Conocido Rby, ya solo nos queda una incógnita en dirección X y una incógnita en dirección Y. Por tanto podemos aplicar la suma de fuerzas en X igualada a cero y lo mismo para Y. Como todas las cargas son verticales, en este caso Rax = 0. Para Ray se tiene:

Solicitaciones

Las solicitaciones las obtendremos a partir de cortes sucesivos en cada uno de los tramos del pórtico:

Haremos tres cortes sucesivos. Estos cortes estarán ubicados a una distancia «X» desde el inicio de cada tramo. Tomemos en cuenta que la distancia X’ para el tramo inclinado, estará rotada en el mismo ángulo que el tramo inclinado, como se verá más adelante. Todo esto se hace para obtener ecuaciones de momento, cortante y axiales en función de esta variable X, y así poder graficar cada diagrama de extremo a extremo del tramo.

Solicitaciones de Tramo 1

Este primer tramo tiene una longitud de 1.5m. Se realiza un corte imaginario a una distancia «x» intermedia entre 0 y 1.5m. Esta distancia «x» es variable y abarca todo este dominio. Al realizar el corte aparecen solicitaciones internas N, V, M (normal, cortante, momento) que deberemos encontrar.

Para encontrar la solicitación normal N, se realiza la suma de fuerzas horizontales. En este caso N=0 KN.

Para el caso del cortante, realizamos la suma de todas las fuerzas en Y (verticales). Notemos que como el corte está hecho a una distancia x desde el extremo izquierdo, la resultante de fuerza de la carga distribuida ya no es 15, sino 10KN/m*x ya que la carga se trunca a esta distancia. Además el punto de aplicación de la resultante está a x/2 y no a 1.5/2 como en el cálculo de reacciones.

A partir de la suma de fuerzas verticales, V se encuentra por simple despeje. Cabe aclarar que por convención , al momento de realizar el corte, V va hacia abajo.

Para el equilibrio de momentos flectores M, haremos el pivote de la suma de momentos flectores en el corte. Luego incluimos todas las variables en la ecuación de suma de momentos. Gracias a que el pivote se localiza en el corte, ni N y V entran en la ecuación de suma de momentos pues su brazo es cero. La convención de signos para el momento flector que aparece en el corte es positivo cuando M tracciona las fibras inferiores de la losa.

todas las ecuaciones encontradas están en función a una variable «x» que posteriormente nos ayudará con la graficación.

Solicitaciones del tramo 2

A difrencia del anterior tramo, el tramo 2 es inclinado, y la complejidad radica en lo siguiente: Al momento re dealizar el corte imaginario perpendicular al eje de la viga, las solicitaciones V y N que aparecen están inclinadas siguiendo el eje longitudinal de la viga, como se muestra en la figura.

Existen dos alternativas entonces:
– Descomponer todo en fuerzas verticales y horizontales
– Descomponer las fuerzas alineadas con el eje longitudinal del tramo inclinado

A primera vista la primera opción podría resultar conveniente, sin embargo existe la desventaja de que al momento de realizar la suma de fuerzas en X y luego en Y, tanto V y N aparecerán en ambas ecuaciones, formando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en función de una tercera variable X. Así, V y N podrían ser difíciles de despejar.

Por lo expuesto anteriormente, se adoptará por la segunda opción, alineando todo respecto a un eje X’ longitudinal al eje inclinado. Así, en la suma de fuerzas respecto de X’ y Y’ solo aparecerán N en función de X’ y V en función de X’ respectivamente.

Descomponemos entonces todas las fuerzas respecto a X’ y Y’ y ademas encontramos las distancias inclinadas hasta el punto de pivote que está justo en el corte imaginario. Posteriomente aplicamos las ecuaciones de equilibrio, y el proceso es repetitivo:

Solicitaciones del tramo 3

Para este tramo volvemos a los ejes cartesianos horizontal y vertical. La única diferencia en este caso es que la medida de X arranca nuevamente al comienzo del tramo 3 y no en el extremo izquierdo del tramo 1. Esto de adoptar ejes locales para cada tramo es típico en pórticos ya que sería muy complicado adoptar coordenadas globales para cada uno de los tramos del pórtico.

Notemos que en los tramos 1 y 2 que ya aparecen enteros en la gráfica, las ubicaciones de las fuerzas resultantes ya no necesitan depender de X pues sus cargas distribuidas ya se grafican enteras de extremo a extremo.

Aplicamos entonces el equilibrio de fuerzas mediante las tres ecuaciones:

Graficación

Ya se tienen las solicitaciones para los 3 tramos en función a la variable X local para cada tramo. El siguiente paso es simplemente graficar las tres solicitaciones.

Solicitación Axial

Nos ayudaremos en cada caso de una pequeña tabla con valores de la solicitación en los extremos de cada tramo.

Como las tres ecuaciones de los tres tramos consisten en una normal constante (nula) o una solicitación en función de X que forma una recta, solo se necesitan dos puntos por tramo para la graficación de la normal.

Solicitación Cortante

Al igual que con las solicitaciones axiales, todos los cortantes están compuestos por ecuaciones en función de X o X’ que son rectas. Por tanto encontrando el cortante en X=0 y X=L para los tres tramos es suficiente para conocer la forma del cortante para todos los tramos:

Solicitación de Momento flector

En el caso del momento flector el caso es un tanto distinto. Para el tramo central se presenta una curva convexa hacia abajo, y tendrá su punto máximo positivo en el punto en X’ donde el cortante se hace cero (concepto de cálculo diferencial). Por tanto además de los puntos extremos del tramo central, necesitaremos un punto intermedio X’ donde V=0. Justo este X’=2.2296m es el punto donde M del tramo 2 se hace máximo y para encontrarlo reemplazamos 2.2296m en la ecuación de momento.

Con los puntos mínimos necesarios para cada tramo, graficamos:

Vídeo

La resolución del ejercicio en vídeo la encuentras a continuación.

autor: Marcelo Pardo

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