Matriz de rigidez – elemento de pórtico articulado (método de Condensación Estática)
Contexto
En el cálculo de estructuras (en 2 y 3 Dimensiones) las estructuras más básicas consisten en elementos aporticados con uniones rígidas entre elementos. En este tipo de estructuras no existen articulaciones que permitan la libre rotación entre elementos.
Sin embargo existen muchos tipos de sistemas estructurales que sí permiten esta rotación entre elementos. Un caso típico consiste en estructuras de acero con arriostramiento lateral mediante tensores. Otro caso típico es el de estructuras construidas en madera.
En este tipo de estructuras, la rigidez lateral está otorgada por el sistema de arriostre (con tensores en este caso) que impide que la estructura se deforme lateralmente. Con este tipo de arriostre, los elementos de viga no necesitan una unión rígida entre columna y viga. La unión puede ser articulada.
Este tipo de unión articulada tiene varios beneficios. Hace más sencillo el cálculo del elemento de viga, y también es más económico de construir en muchas circunstancias. Si bien la viga articulada tiene momentos isostáticos más grandes que su equivalente sin articulaciones y por tanto una consecuente sección transversal más grande, esta sección más peraltada o más grande se compensa en costos con una unión más económica que no requiere la rigidez de una unión rígida.
Las uniones articuladas, llamadas uniones por cortante en estructuras metálicas, son mucho más económicas y más fáciles de construir que su contraparte rígida. Esto hace necesario que la estructura se calcule articulada en varios puntos de unión.
Es ante esta necesidad que se necesita deducir la matriz de rigidez de un elemento de viga que se articule en sus extremos al unirse con el resto de la estructura. Para esto aprenderemos la utilidad práctica del concepto de Condensación Estática.
Punto de partida
En esta ocasión se trabajará con la matriz de rigidez de pórtico. Sin embargo el procedimiento también es válido para matrices de rigidez de viga o incluso para elementos de pórtico en 3D.
Para lograr la articulación en un elemento de pórtico, debemos partir por sus ecuaciones básicas. El sistema de ecuaciones que gobierna el comportamiento de un elemento de pórtico es el siguiente:
En su forma abeviada puede escribirse de la siguiente manera:
En esta ecuación, los términos significan:
- [K]: Matriz de rigidez de la viga
- {u}: desplazamientos de cada grado de libertad en los extremos de la viga
- {f}: Fuerzas equivalentes en los nudos producto de cargas internas distribuidas en la viga
- {Q}: Fuerzas externas en los nudos de la viga
Vamos a anular la resistencia a momento flector de, digamos el grado de libertad 3, correspondiente al giro del extremo izquierdo del elemento de barra. Esto equivale a igualar a cero la fuerza externa del grado de libertad 3:
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